| Az
alábbi feladatok tudtommal
szájhagyomány
útján terjednek.
A feladatok nem tételeznek fel az általános iskolainál több matematikai ismeretet, legalábbis ez volt a cél. Szívesen veszek bármilyen hozzászólást, további feladatot illetve a megfogalmazással kapcsolatos megjegyzést. Köszönet mindenkinek, aki segített. Bohus Géza http://gbohus.com
The problems below
are folklore
to the best of my knowledge.
|
| 1 | Tizenöt látszólag
egyforma golyóból kettő radioaktív.
Műszerünkkel egyszerre azt tudjuk megmérni, hogy
egy kupac golyóban van-e
radioaktív vagy sem. (Azt tehát nem tudjuk
eldönteni, hogy egy kupac egy
vagy két radioaktív golyót
tartalmaz.)
Hány mérést kell elvégeznünk, hogy mindkét radioaktív golyót megtaláljuk? |
We have fifteen seemingly identical coins, two
of which are radioactive. We have an instrument capable of indicating
whether
a group of coins contains a radioactive coin or not. (The instrument
only
detects the presence of radioactivity, not its quantity.)
How many measurements are necessary to find both radioactive coins? |
||||||||
| 2 | Ezer embert az alábbi
kísérletre kérünk fel.
Sorba állítjuk őket nagyság szerint,
hátul a legmagasabb, elöl a legalacsonyabb.
Mindenkinek a fejére teszünk egy sapkát,
pirosat vagy kéket. A sorbanállás
olyan, hogy mindenki látja az előtte
álló összes személy
sapkáját, de a
sajátját és a
mögötte állókét nem.
Most a legmagasabbtól előre haladva
mindenki megtippeli a saját sapkája
színét. A résztvevők célja
az, hogy
minél többen találják el a
helyes választ. A résztvevők tudják
előre a
feladatot és megfelelő stratégiát
beszélhetnek meg. Mi legyen ez a stratégia,
hogy a lehető legmagasabb legyen a találati
arány?
Mi a helyzet, ha a végigkérdezés közben mindenki csak a közvetlenül mögötte állót hallja? |
A thousand people participate in the following
experiment. They line up in such a way that each person can see the
others
in front of him/her, but not the ones behind. Now each person gets a
hat,
red or blue. Now we ask each person in turn, starting with the person
at
the end of the line to guess the color of his/her hat. (Obviously, no
one
can see his/her own hat, only the ones in front of him/her. As a
consequence,
the first person asked has no clue as to what the correct answer is.)
The participants know in advance what the experiment is and their aim is to agree on a strategy which maximizes the number of correct guesses. What should the strategy be? How does the answer change if each person only hears the answer standing immediately behind him/her? |
||||||||
| 3 | Hány összehasonlítás kell ahhoz, hogy ezer szám legkisebbikét és legnagyobbikát megtaláljuk? Hány kell a második legkisebb elem megtalálásához? | How many comparisons do you need to find the smallest and the largest of a thousand numbers? How about finding the two smallest numbers? | ||||||||
| 4 | Tizenkét egyformának tűnő érme közül egy kétkarú mérleggel, három méréssel válasszuk ki a hamisat, ami lehet könnyebb vagy nehezebb az igaziaknál. | You have twelve identical looking coins one of which is a fake, which can be heavier or lighter than the others. Find the fake coin with three measurements on a scale. (The scale is able to compare the weights on its two sides.) | ||||||||
| 5 | Fekete, Szürke és Fehér úr három résztvevős pisztoly-párbajra készül. A párbaj úgy fog lefolyni, hogy egy bizonyos sorrendet kijelölve az első lőhet egyet, majd - ha még életben van - a második lőhet egyet, és így tovább, amíg legalább ketten élnek. Mivel Fehér úr a legrosszabb lövész (csak 1/3 valószínűséggel talál), ő lőhet majd elsőnek. Másodikként Szürke úr lőhet, ha még él; ő 2/3 valószínűséggel talál. Végül Fekete úr jön, aki tökéletesen lő, mindig talál. Kérdés: mi legyen Fehér úr stratégiája az első lövéskor? | Mr. Black, Mr. Gray and Mr. White are going to
have a three-way "duel". The rules are very simple: they take turns
firing
one bullet each turn until there is only one person left. Since the
probability
of Mr. White hitting a target is only 1/3, he will be the first to
shoot.
Mr. Gray will be second as his probability of hitting is 2/3. Mr. Black
will be third as he alway hits the target.
What should Mr. White do with his first shot? |
||||||||
| 6 | Egy tizenöt szintes épület
ablakaiból tojásokat
kidobálva akarjuk megállapítani,
milyen magasból való kidobást
bír ki egy
tojás. A tojások egyformák. Ha
valahonnan egy tojást kidobunk és nem
törik
össze, akkor lejjebbről kidobva sem törik
össze. Egy kísérlet egy tojás
kidobásából áll.
Két tojás áll rendelkezésünkre, amelyek a kísérletek áldozatául eshetnek, de a végén tudnuk kell a választ a fenti kérdésre. Hány kísérletre van szükség a legrosszabb esetben? |
Given a fifteen story building and two identical
eggs we need to find out from how high an egg can be dropped without
being
broken. If an egg survives a fall from a certain height it will survive
a fall from anywhere lower. One experiment consists of dropping an egg
from a window on a given floor. We can break an egg (or both) during
our
experiments but we have to know the answer by the end.
How many experiments are necessary in the worst case? |
||||||||
| 7 | Van két madzagunk. Ha bármelyiket bármelyik végén meggyújtjuk, egy óra alatt ég el. (Az idővel nem feltétlenül arányos az elégett mennyiség.) Feladat: mérjünk 45 percet a madzagok és megfelelő mennyiségű gyufa segítségével. | You are given two pieces of rope and a number
of matches. Both ropes have the property that ignited at one end
exactly
one hour will pass before the rope is burned. (The ropes don't
necessarily
burn evenly, e.g. we don't know how much rope is burnt in half an
hour.)
Can you measure 45 minutes? |
||||||||
| 8 | Egy 20 méter magas
sziklapárkány szélén
állunk
és le akarunk jutni a földre. ("0-ra")
Rendelkezésünkre áll egy 15
méter
hosszú kötél, egy kés
és 10 méter magasan (tehát alattunk 10
méterrel)
egy párkány, ahol meg tudjuk vetni a
lábunkat, illetve rögzíteni tudunk
kötelet. Tudunk csomót kötni és
a
csomók nem használnak el a
kötél hosszából semennyit.
Nem tudunk azonban
távolból kioldható csomót
kötni.
Hogyan kell lejutni a földre? (Ugrani vagy pottyanni egy kicsit sem ér.) |
You're standing on a 20 meter high ledge and
there is another ledge 10 meters below you. You have a 15 meter long
piece
of rope and a knife. You can tie the rope here, on the ledge below you,
but nowhere else. You can tie knots and they don't take up any rope.
You
can't tie however knots that are undoable from afar.
You have to get down to the ground without jumping or falling. Can you do it? |
||||||||
| 9 | Egy börtönben 16 rab van, minden rab
külön cellában.
A rabok semmilyen módon nem tudnak kommunikálni
egymással. A cellák közös
előterében van 4 lámpa, mindegyik
saját kapcsolóval, egyelőre mind kikapcsolva.
Az őrök egyesével kiengednek egy-egy rabot, aki tetszése szerint átállíthatja a kapcsolókat. (Természetesen úgy is hagyhatja őket.) A rabok tehát most már tudnak a kapcsolókon keresztül kommunikálni. A rabok feladata az, hogy legalább egyikük megtudja, mindannyian jártak-e már kinn. (Az őrök mindenkit "végtelen sokszor" kiengednek.) Ha egy rab megállapítja, hogy már mindnyájan jártak kint, ezt a tényt közli az őrökkel és a rabokat szabadon engedik. (Tévedni persze nem tévedhet.) Milyen módszerben állapodjanak meg a rabok? Megoldható-e a feladat, ha az elején nincs minden lámpa kikapcsolva? És ha csak egy lámpa - és persze egy kapcsoló - van? |
A prison has sixteen prisoners in separate cells.
The prisoners can't communicate with each other. In the common room
there
are four lights, each with its own switch, all turned off.
The prisoners are let out - one at a time - and are allowed to handle the switches in any way he wants. The prisoners can now communicate through the switches. The prisoners' task is to find out if all of them have been let out already. (Each prisoner comes out infinitely many times.) If any one of them at any one time is certain that all of them have been out already, he can announce this fact to the guards and they are let free. (Mistakes are not allowed.) What protocol should they follow? What if the lights are not guaranteed to be off at the start? What if there is only one light and one switch? |
||||||||
| 10 | Mi a
következő eleme az
alábbi sorozatnak?
12, 4.348125, 7, 24, 60, ? |
What is the next
element
of the following sequence?
12, 4.348125, 7, 24, 60, ? |
||||||||
| 11 | Vegyünk egy négy egység
széles és két egység
magas papírdarabot és osszuk nyolc 1x1
egységnyi négyzetre. A négyzeteket
számozzuk meg az ábrán
látható módon.
Feladat: hajtogassuk össze a papírlapot egy 1x1 egység méretű, 8 rétegű izévé, hogy a számok 1-től 8-ig sorba legyenek. (Célszerű a négyzetek hátulját is megszámozni.) |
You are given a piece of paper, four units wide
and two units tall, divided into eight 1x1 unit squares which are
numbered as seen on the figure below.
Your task is to fold the piece of paper into whatsit of eigth layers thick of size 1x1 where the numbers follow each other from 1 to 8. (You'll be better off numbering both sides.) |
||||||||
|
||||||||||
| 12 | Négy embernek egy rozoga hídon
kell átmennie
sötétben egy zseblámpa
segítségével. Egyszerre csak ketten
tudnak átmenni
és lámpa nélkül nem,
tehát csak a "ketten átmennek egy
visszajön" módszer
lehetséges. Az emberek maximális
sebessége különböző,
így rendre 1, 2,
5 és 10 perc alatt érnek át, ha
egyedül vannak. (Két ember együtt a
lassabbik
sebességével halad.)
Át tudnak menni mindnyájan 17 perc alatt? |
Four people need to cross a bridge in the dark.
They have a flashlight - without which they cannot cross - but the
bridge
is weak, so at most two people can cross at a time.
The only way to do it therefore is the "two people cross, one comes back with the light" method. Their maximal speed is different; they take 1, 2, 5 and 10 minutes to cross, respectively. (When two people go together their speed is the speed of the slower one.) Can they all get across within 17 minutes? |
||||||||
| 13 | Egy kalózhajó
zsákmányol 1000 aranyat. A hajón
100 kapzsi kalóz van, akik közt
egyértelmű rangsor van. Úgy akarják
elosztani
az aranyat, hogy először a kapitány javasol egy
elosztást. Ha a kalózok
legalább fele elfogadja a javaslatot, akkor a
kapitány megkapja amit magának
javasolt, ha nem, akkor a kapitány cápaeledel.
Mindkét esetben a többiek a következő legmagasabb rangú kalóz javaslatával folytatják. Mi a helyes stratégia? (A kalózok persze okosak és kapzsik, de saját életüket többre tartják az aranynál.) |
A pirate ship has a 1000 pieces of gold to divide
among the greedy pirates who are ordered according to rank, from
captain
down. They use the following protocol: at any stage the highest ranking
pirate proposes a division among the remaining pirates. If at least
half
of them accepts the proposal, the proposer gets the part he proposed
for
himself and they move on to the next round. Otherwise they throw the
proposer
into the sea and again, they move on to the next round.
What is the best strategy when it is your turn to propose? (The pirates value their life more than the gold.) |
||||||||
| 14 | Tíz zsákban
aranyérmék vannak,
közülük egyben
hamisak, amik könnyebbek az igaziaknál. Mind
valódi, mind a hamis érmék
súlyát tudjuk. Van
egy súly mérésére alkalmas
mérlegünk.
Meg tudjuk állapítani egy méréssel melyik zsákban vannak a hamis érmék? |
We have some gold coins in ten bags. One bag contains
fake coins however and these are lighter. We know both the weight of
the real and the fake
coins and have a scale able to measure weight.
Can you tell which bag contains the fake coins with one measurement on the scale? |
||||||||
| 15 | Három emberre sapkát
teszünk, mindenkire pirosat vagy kéket.
Mindegyikük látja a másik két
ember sapkáját, de a
sajátját nem.
Egy jelre, egyszerre, megbeszélés nélkül kell megtippelniük saját sapkájuk színét. Passzolni is szabad. Közös jutalmat kapnak, ha senki nem mond rosszat és legalább egyikük jót mond. (Másképpen: nem kapnak jutalmat, ha valaki rosszat mond vagy mindenki passzol.) Tudnak-e 50%-nál nagyobb eséllyel nyerni? Természetesen a feladatot ismerik előre. |
Three players enter a room and a red or blue hat is
placed on each person's head. Each person can see the other players'
hats but not his own.
No communication of any sort is allowed, except for an initial strategy session before the game begins. Once they have had a chance to look at the other hats, the players must simultaneously guess the color of their own hats or pass. The group shares a prize if at least one player guesses correctly and no players guess incorrectly. Is there a strategy with a success rate higher than 50%? |
||||||||
| 16 | Hetvenhárom éhes, de a logikus
gondolkodásban járatos oroszlán
talál egy darab húst. A hús egy
oroszlán számára
elég, kettéosztani nem lehet. Ha azonban egy
oroszlán megeszi a húst, jóllakottan
elalszik és a többiek
számára ehető hússá
válik. Ekkor a feladat megismetlődik eggyel kevesebb
oroszlánnal. Mit fognak tenni az oroszlánok? |
Seventy-three
hungry lions who are also well-versed in logic find a piece of meat.
The meat is only enough for one lion, it cannot be divided.
If, however, a lion eats the meat, it falls asleep and it becomes
"meat" for the others so we get the same problem with one less
lion. What will the lions do? |
||||||||
| 17 | Prodnak
megmondtam két
pozitív egész szám
szorzatát, Sumnak az összegüket.
Utána így beszélgettek: Prod: Nem tudom mi a két szám.
Mi a két szám? |
Prod and Sum learn the product and
the sum of two positive integers, respectively. Upon learning these two
quantities they have the following conversation:
"Prod: I don't know the numbers.
What are the numbers? |
||||||||